Az informatika egyik matematikai alapja a logika (a másik a halmazok). A számítógépek (főként) kettes számrendszerben dolgoznak. A számításokat is 2-es számrendszerben végzik 0-ákkal, és 1-esekkel (kivétel quantum számítógép, ott van egy harmadik érték, ami egyszerre 1 és 0 is). A processzor a belsejében található tranzisztor alapú (dolgoznak az atom alapúakon) logikai kapuk segítségével „számol”.
A logikai alapműveletek és azok alkalmazása különböző feladatok megoldása során
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az állítások igazak, vagy hamisak (kivétel quantum). E két lehetséges értéket együtt logikai értéknek nevezzük. Az igaz értéket 1-el, a hamisat 0-val szokás jelölni. Ezek a jelölések könnyen megfeleltethetők azon jelenségeknek, hogy van áram, vagy nincs áram, amelyek már áramköri megvalósításokra utalnak. Kizárási tétel: Ha egy állítás logikai értéke 0, akkor nem lehet 1 (természetesen ez nem vonatkozik a quantum számítógépekre). A logikai kapuk működését is ilyen egyszerűen adják meg. Az eredményt leírják táblázatos formában, hogy milyen bemenetre milyen kimenetet adnak. Ezért a logikai kapuk nagyon egyszerű gépeknek tekinthetők, amelyek működését úgy értelmezzük, hogy igaz logikai érték esetén folyik áram, hamis érték esetén, pedig nem. A logikai kapuk bemeneteit szokás operandusoknak nevezni. Ez alapján megkülönböztetünk egy, kettő, három, több operandusú műveleteket.
Igazságtáblák (ÉS, VAGY, NEM, Kizáró VAGY)
- NOT (NEM) – negálás (elektronikában hívják még invertálásnak is) – megfordítja a jel tartalmát
−, matematikai − (mínusz)
- AND (ÉS) – csak akkor igaz, ha az összes bemenet igaz
∧, &, &&, *, matematikai ∩ (metszet)
- OR (VAGY) – ha legalább egy bemenet igaz, már igaz lesz
∨, |, ||, +, matematikai ∪ (unió)
- XOR (kizáró VAGY) – csak akkor igaz, ha pontosan egy bemenet igaz
- NAND (negált ÉS) – akkor igaz, ha legalább egy bemenet hamis
- NOR (negált VAGY) – csak akkor igaz, ha semelyik bemenet sem igaz
- XNOR (negált kizáró VAGY) – akkor igaz, ha nem egy bemenet igaz
Logikai kifejezések kiértékelése, egyenértékűsége, tagadása
A gondolkodás – logikai szempontból – műveletvégzés. Ez nem cél, hanem eszköz. Két nagy műveletcsoportot különböztetünk meg; az egyszerűbb műveleteket alapműveleteknek, a bonyolultabbakat speciális műveleteknek nevezzük. Logikai alapműveletek:
Állítás és tagadás (tagadás tagadása)
- Állítás az a logikai alapművelet, amellyel azt fejezzük ki, hogy a tárgy, dolog a valóságban létezik, vagy valamilyen tulajdonsággal rendelkezik. (Lehet igaz is és hamis is.)
- Tagadás az a logikai művelet, amellyel azt fejezzük ki, hogy a tárgy, a dolog a valóságban nem létezik, vagy valamilyen tulajdonsággal nem rendelkezik. (Lehet igaz is és hamis is.)
- Tagadás tagadása egyenlő az eredeti állítással,
Azonosítás és megkülönböztetés = összehasonlítás
- Azonosítás az a logikai alapművelet, amellyel a különbözőségben keressük, feltárjuk az azonosat, a megegyezőt.
- Megkülönböztetés az a logikai alapművelet, amellyel az azonosságban keressük a különbözőséget.
- Összehasonlítás az a logikai alapművelet, amikor egyszerre (egyforma jelenséggel) végzem el az azonosítást és megkülönböztetést. Ki kell emelni (absztrahálni) a sokféle tulajdonságból, a megegyező és megkülönböztető Az azonosítás és megkülönböztetés valójában nem választható ketté.
Analízis és szintézis
- Analízis az a logikai alapművelet, amellyel a tárgy egészét gondolatban részeire (nem fajtáira) bontjuk.
- Szintézis az a logikai alapművelet, amellyel a tárgy részeit gondolatban egésszé egyesítjük. Általános kérdései: Mit alkotnak együtt…? Minek a részeit sorolom…?
Absztrakció és konkretizáció
- Absztrakció az a logikai alapművelet, amellyel a tárgy lényeges jegyeit kiemeljük a többi közül. Minden foga- lomalkotásnál végzünk absztrahálást, amikor a lényegtelen jegyekből kiemeljük a lényegest, sőt az absztrakt fogalmak esetében kétszeresen absztrahálunk: először amikor a lényegtelen jegyektől elválasztjuk a lényegeset; másodszor, amikor magától a tárgytól is elválasztjuk a lényeges jegyet és egy önálló fogalmat alkotunk belőle.
- A konkretizáció és a szintézis meggyeznek abban, hogy mind a kettő egésszé egyesít, de különböznek is, mert a szintézis a tárgy részeit, a konkretizáció a tárgy kiemelt tulajdonságait egyesíti egésszé.
Indukció és dedukció
- Indukció az a logikai alapművelet, amellyel megkeressük, feltárjuk az egyesben a közös, általános tulajdonságot.
- Dedukció az a logikai alapművelet, amellyel az általános, közös tulajdonságot visszavezetjük, ahhoz az egyeshez, amelyik azt magában hordja.